probabilidad y estadística 511: noviembre 2012

Descripción de un conjunto

Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, A, tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en A es irrelevante.

Existen dos maneras de describir o especificar los elementos de un conjunto:

Una de ellas es mediante una definición intensiva o por comprensión, describiendo una condición que cumplen sus elementos :

A es el conjunto cuyos miembros son los números enteros positivos menores que 5.

B es el conjunto de colores de la bandera de México.

La segunda manera es por extensión, esto es, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos del conjuntos entre llaves:

C = {4, 2, 3, 1}

D = {blanco, rojo, verde}

Puesto que un conjunto queda especificado únicamente por sus elementos, a menudo pueden usarse ambas definiciones, intensivas y extensivas, para especificar un mismo conjunto. Por ejemplo:

«El conjunto de las vocales en español» = {e, u, a, i, o}

En los ejemplos anteriores, se tiene que A = C y B = D

Debido a la propiedad de la extensionalidad, el orden en el que se especifiquen los elementos de un conjunto es irrelevante (a diferencia de una tupla o una sucesión). Por ejemplo:

C′ = {1, 2, 4, 3} es igual a C = {4, 2, 3, 1}

D′ = {verde, blanco, rojo} es igual a D = {blanco, rojo, verde}

Esto es así debido a que lo único que define un conjunto son sus elementos. Por ejemplo, cada elemento de D es un elemento de D′ y viceversa, luego ambos son necesariamente el mismo conjunto. Del mismo modo, y a diferencia de un multiconjunto, cada elemento de un conjunto es único: no puede repetirse o pertenecer «más de una vez». Esto significa que, por ejemplo:

{4, 3, 2, 4} = {4, 2, 3} ,

ya que los elementos de ambos conjuntos son los mismos: el 4, el 3 y el 2. No sería el caso si los números que consideramos tuvieran alguna otra propiedad que los diferenciase:

{4, 3, 2, 4} es distinto de {4, 2, 3} y de {4, 2, 3}

Es habitual utilizar las llaves también en las definiciones intensivas, especificando la propiedad que define al conjunto:

{Vocales del español} = {o, u, i, e, a}

{Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}

Otra notación habitual para denotar por comprensión es:

A = {m : m es un entero, y 1 ≤ m ≤ 5}

B = {c : c es un color de la bandera de México}

F = {n² : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10} ,

donde en esta expresión los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F anterior es el conjunto de «los números de la forma n² tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales, {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua «/» .

Relación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto de polígonos. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.

[editar]Pertenencia

Artículo principal: Elemento de un conjunto.

La relación clave en un conjunto es la pertenencia: cuándo es un elemento miembro de un conjunto. Si a es un miembro de B, se denota por a ∈ B,⁴ y si no lo es, se denota por a∉ B. Por ejemplo, respecto a los conjuntos A, B y F de la sección anterior, podemos decir:

4 ∈ A , 36 ∈ F , verde ∈ B , pero

7 ∉ A , 8 ∉ F , azul ∉ B

Y se dice entonces que 4 pertenece al conjunto A, 4 es un miembro de A, 4 está en A o A contiene 4.

[editar]Subconjuntos

Artículo principal: Subconjunto.

Subconjunto. B es un subconjunto de A (en particular un subconjunto propio).

Un conjunto B es una parte o un subconjunto del conjunto A, si todo elemento de B es de A. ⁵ ⁶ ⁷

Un conjunto B es un subconjunto del conjunto A si cada elemento de B es a su vez un elemento deA.

$B \subset A \quad \longrightarrow \quad \forall a \in B : x \in A$

Esta definición es equivalente a: «si todo elemento de un conjunto B pertenece también a otro conjunto A se dice que B esta contenido en A, o bien que B esta incluido en A. Esta idea se indica con el signo ⊂ y se lee 'esta contenido en'».⁸

Un conjunto B es un subconjunto del conjunto A si: la intersección entre A y B es el conjuntoB.

$B \subset A \quad \longrightarrow \quad A \cap B = B$

Si B es un subconjunto de A, se escribe como B ⊂ A y se dice que «B está contenido en A». También puede escribirse A ⊃ B, y decirse que A es un superconjunto de B y también «A contiene a B» o «A incluye a B».

[editar]Subconjunto propio e impropios

En algunos textos de redacción antigua diferencian entre los subconjuntos: los subconjuntos, los subconjuntos propios y los impropios, esta notación no es aconsejable al ser obsoleta, dado que las estructuras algebraicas de orden y en álgebra de conjuntos, parten de la propiedad reflexiva, por eso un conjunto cualesquiera se considera un subconjunto de si mismo en todos los casos,⁹ y por ello se define:

Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es un subconjunto de A, si todo elemento de B pertenece a A, según la siguiente notación:

$B \subseteq A \quad \longrightarrow \quad \forall x \in B : x \in A$

Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es un subconjunto propio de A, si todo elemento de B pertenece a A, siendo A y B conjuntos distintos.

$B \varsubsetneq A \quad \longrightarrow \quad \forall x \in B : x \in A \quad \and \quad \exists y \in A : y \notin B$

Dados dos conjuntos A y B, si A = B, se dice también que A es un subconjunto impropio de B, y también que B es un subconjunto impropio deA.

$A = B \quad \longleftrightarrow \quad A \subseteq B \quad \and \quad B \subseteq A$

Si B no sólo contiene algunos sino todos los elementos A, B no sólo es un subconjunto de A, sino que ambos conjuntos son iguales, A = B. El otro caso posible es que B contenga algunos pero no todos los elementos de A: B es un subconjunto de A pero no son iguales. Se dice entonces que B es un subconjunto propio de A y se denota B ⊊ A, es decir: B ⊆ A pero B ≠ A (y equivalentemente, para un superconjunto propio, A ⊋ B).

También se utiliza la notación B ⊂ A y A ⊃ B, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, B ⊆ A y A ⊇ B; o subconjunto propio, B ⊊ A y A ⊋ B.¹⁰

Ejemplos.

El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».

{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

[editar]Conjuntos disjuntos

Artículo principal: Conjuntos disjuntos.

A y B son conjuntos disjuntos.

Un conjunto A es disjunto a otro B si los elementos de A no pertenecen a B:

$\forall x \in A : x \notin B$

la disjunción de conjuntos es reciproca y si A es disjunto de B, B es disjunto de A:

$\forall x \in A : x \notin B \quad \longleftrightarrow \quad \forall x \in B : x \notin A$

Por lo tanto dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos comunes, que también puede decirse:

Los conjuntos A y B sin disjuntos si: la intersección entre A y B es el conjunto vacío.

$A\ {\rm y} \ B\ {\rm disjuntos} \quad \longrightarrow \quad A \cap B = \varnothing$

introducción a la probabilidad.

un conjunto es una conexión de objetos bien definidos. se denomina por la letra mayúscula del alfabeto o símbolo griego.
las formas de representar un conjunto:
por comprensión.- consiste en enunciar una propiedad definitoria de los elementos del conjunto
A={ alumnos que empiecen su nombre con L}
A={ luis, lucio, lizet, laura, lidia, leticia}
por extencion.- consiste en enumerar cada uno de los elementos que componen la propiedad definitoria
A= {todos los nombres del salón CONT5A}

MOMENTOS

los momentos son operaciones que únicamente el calculo de las mediadas de posición y forma pueden definir una distribución de otra.

medidas de posición:

*cuartiles

*desiles

*percentiles

medidas de forma:

*rango

* Varianza

* desviación media

* desviación típica

*etc.

los tipos en que se puede encontrar un momentos son los siguientes:

a) momentos con respecto al origen. el origen del que se habla es la Varianza.

b) momento con respecto a al media. el origen es la media aritmética con respecto de la Varianza.

c) momentos con respecto a cualquier posición de la Variable. el origen es cualquier valor posible de la Varianza.

reto 2

1) En el proceso electoral 2012 se eligieron diputados, senadores y presidente de la república, considerando la participación de los tres partidos políticos principales PAN, PRI y PRD contesta lo siguiente.
Si una persona mayor de edad vota por las tres categorías.

a) Construye un diagrama de árbol que represente tu espacio muestral.

¿Cuantas posibles combinaciones pueden resultar?

R= Se pueden generar 3 posibles combinaciones

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona que voto elija los tres candidatos del PAN?
R= Pues en este caso todos los partidos tienen la misma posibilidad

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona que voto elija un candidato de cada partido?
R= La posibilidad es de que elija una de cada 3

e) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona que voto elija dos candidatos del PAN y uno del PRD?

R= La posibilidad es que elija 2 de 3 y 1 de 3

f) ¿Que aplicaciones puedes observar para la técnica de diagrama de árbol?

2) Se lanza un dado al aire….

¿Cuántos posibles resultados pueden resultar?

- 6 resultados

- 24 combinaciones

- Dependiendo las veces que sea lanzado el dado

¿Cuál es la posibilidad de que salga un tres?

Si es lanzado una vez 1 de seis.

¿Cuál es la posibilidad de un número primo?

2 de 6 (pues son 3 y 5)

3) Un entrenador de fútbol va a seleccionar para su equipo dos delanteros y cuatro defensas y a las pruebas se presentan cinco delanteros y seis defensas. Tres de los delanteros y cuatro de los defensas son diestros y el resto son zurdos.

¿Cuál es la probabilidad de que en el equipo haya un delantero zurdo? ¿y la probabilidad
De que al menos uno de los defensas sea zurdo?
R= La posibilidad de que un delantero sea zurdo es de 2 de 5 De que un defensa se zurdo es de 2 de 6

¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los miembros del equipo sea zurdo?
R= La posibilidad de que ninguno sea zurdo es de 7 de 11

Conclusión:

Después de realizar estas tres actividades de mi segundo reto, me doy cuenta que la probabilidad la encontramos en todos lados y en donde menos esperamos, es una herramienta muy útil y que todos debemos de saber.

SESGO:

En estadística se llama sesgo de un estimador a la diferencia entre su esperanza matemática y el valor numérico del parámetro que estima. Un estimador cuyo sesgo es nulo se llama insesgado o centrado.

En notación matemática, dada una muestra $x_1, \dots, x_n\,$ y un estimador $T(x_1, \dots, x_n)\,$ del parámetro muestral $\theta\,$ , el sesgo es:

$E(T) - \theta\,$

El no tener sesgo es una propiedad deseable de los estimadores. Una propiedad relacionada con ésta es la de la consistencia: un estimador puede tener un sesgo pero el tamaño de éste converge a cero conforme crece el tamaño muestral.

Dada la importancia de la falta de sesgo, en ocasiones, en lugar de estimadores naturales se utilizan otros corregidos para eliminar el sesgo. Así ocurre, por ejemplo, con la Varianza muestral.

CURTOSIS:

En teoría de la probabilidad y estadística, la curtosis es una medida de la forma. Así, las medidas de curtosis tratan de estudiar la proporción de la Varianza que se explica por la combinación de datos extremos respecto a la media en contraposición con datos poco alejados de la misma. Una mayor curtosis implica una mayor concentración de datos muy cerca de la media de la distribución coexistiendo al mismo tiempo con una relativamente elevada frecuencia de datos muy alejados de la misma. Esto explica una forma de la distribución de frecuencias con colas muy elevadas y un con un centro muy apuntado.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN.

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la mediana media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la mediana media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (Varianza).

Medio rango

El medio rango de un conjunto de valores numéricos es la media del menor y mayor valor, o la mitad del camino entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor. En consecuencia, elmedio rango es:

$medioRango = \frac{\ (Min + Max)}{2}$

La Varianza es una medida estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media), es decir, es el cuadrado de las desviaciones: $S_X^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{n-1}$

$S_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$

Desviación típica

La Varianza a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades cuadráticas. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión, que es la desviación típica, odesviación estándar, que se halla como la raíz cuadrada positiva de la Varianza La desviación típica informa sobre la dispersión de los datos respecto al valor de la media; cuanto mayor sea su valor, más dispersos estarán los datos. Esta medida viene representada en la mayoría de los casos por S, dado que es su inicial de su nominación en inglés.

Desviación típica muestral

$S = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$

Covarianza

La covarianza entre dos variables es un estadístico resumen indicador de si las puntuaciones están relacionadas entre sí. La formulación clásica, se simboliza por la letra griega sigma (σ) cuando ha sido calculada en la población. Si se obtiene sobre una muestra, se designa por la letra " $s_{xy}$ ".

La formula suele aparecer expresada como:

$\hat{S}_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i}{n-1} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{n-1}$